Аснаўныя пачаткі арытмэтыкі (1920)/Дробязныя лікі

← Аб дзельніках

Дробязныя лікі Падручнік арытмэтыкі Аўтар: Навум Цыгельман 1920 год Арыгінальная назва: Основныя начала ариѳметики Пераклад: Юрка Лістапад

Адносіны і прапорцыі →

Прапануем да спампаваньня!

ДРОБЯЗНЫЯ ЛІКІ.

Звычайныя дробязі.

Даставаньне і абазначэньне дробязяў.

139.Дробязь дастаецца: 1) ад дзяленьня меншага ліку на большы, 2) ад мераньня якой-небудзь рэчы такою меркаю, каторая не паўтараецца ў ёй ні аднаго цэлага разу.

140.Дробязьзю або дробязным лікам наз. адна або збор некалькіх аднолькавых частак адзінкі.

Другое вытлумачэньне дробязі. Дробязьзю наз. лік, каторы паказвае, колькі разоў якая-небудзь частка (доля) адзінкі паўтараецца ў зьмерваемай рэчы.

141.Дробязь абазначаецца двома лікамі, каторыя пішуцца адзін пад адным і аддзельваюцца адзін ад аднаго паземнаю рысаю. $\left({\tfrac {3}{5}},{\tfrac {6}{7}},{\tfrac {5}{9}}\right)$.

Падчас замест паземнай рысы ставяць нахіленую (³/₅, ⁶/₇, ⁵/₉ ….).

142.Назоўнікам наз. лік, які стаіць пад рысаю і паказвае, на колькі роўных частак адзінка была падзелена.

143.Лічнікам наз. лік, які стаіць над рысаю і паказвае, колькі ў дадзеным выпадку ўзята частак.

Лічнік і назоўнік дробязі наз. складамі (суставамі) яе.

Усякая дробязь можа быць разгледжана, як дзель, якая дастаецца ад дзяленьня лічніку на столькі роўных частак, колькі адзінак у назоўніку; наадварот, усякая дзель можа быць прадстаўлена, як дробязь, лічнік каторае роўны дзельнаму, а назоўнік — дзельніку. Такім чынам, лічнік дробязі можа быць названы таксама дзельным, а назоўнік — дзельнікам.

---

Параўнаньне дробязяў з адзінкаю.

144.У адносінах вялічыні дробязяў да адзінкі, дробязі бываюць большыя за адзінку (калі лічнік большы за назоўнік, напр.: ⁷/₅, ³/₂, ⁹/₇); роўны ёй (калі лічнік роўны назоўніку, напр.: ⁶/₆, ⁸/₈, ¹¹/₁₁), і меншыя за яе (калі лічнік меншы за назоўнік, напр.: ⁵/₆, ⁷/₉, ¹¹/₁₃).

145.Праведнаю (праўдзіваю) наз. дробязь, меншая за адзінку (${\tfrac {7}{9}}<1;{\tfrac {5}{8}}<1$).

146.Няправеднаю (непраўдзіваю) наз. дробязь, роўная адзінцы або большая за адзінку (${\tfrac {6}{6}}=1;{\tfrac {8}{5}}>1$).

Мяшаным лікам наз. цэлы лік з дробязьзю [3³/₄, 6⁷/₈, 9⁵/₇].

Ператварэньне (зьвярненьне) мяшанага або цэлага ліку ў няправедную (непраўдзівую) дробязь. Выключаньне цэлага ліку з няправеднае (непраудзівае) дробязі.

Усякі мяшаны або цэлы лік можа быць зьвернены ў няправедную (непраўдзівую) дробязь, наадварот, усякая няправедная (непраўдзівая) дробязь можа быць зьвернена ў мяшаны або цэлы лік.

147.Каб зьвярнуць цэлы лік у няправедную (непраўдзівую дробязь, трэба цэлы лік памножыць на жадаемы назоўнік і пад множывам падпісаць гэты назоўнік ${\big (}5={\tfrac {5\cdot 7}{7}}$=${\tfrac {35}{7}}$; 4=${\tfrac {4\cdot 8}{8}}$=${\tfrac {32}{8}}{\big )}$.

148.Каб зьвярнуць мяшаны лік у няправедную (непраўдзівую) дробязь, трэба цэлую частку гэтага ліку памножыць на назоўнік дробязнай яе часткі, да адтрыманага множыва дадаць лічнік і пад зьлічвом падпісаць той жа назоўнік. ${\big (}5{\tfrac {4}{7}}={\tfrac {5\cdot 7+4}{7}}$=${\tfrac {39}{7}}$; 9${\tfrac {7}{8}}={\tfrac {9\cdot 8+7}{8}}={\tfrac {79}{8}}{\big )}$.

149.Каб выключыць цэлы лік з няправеднае (непраўдзівае) дробязі, трэба лічнік разьдзяліць на назоўнік, і калі будзе астача, дык яе дадаць да дзелі, як дробязь, лічнікам каторае будзе астача, а назоўнікам — назоўнік дадзенае дробязі. ${\big (}{\tfrac {54}{9}}=6$; ${\tfrac {75}{8}}=9{\tfrac {3}{8}}{\big )}$.

Павялічаньне і паменшаньне дробязяў.

150.Ад павялічаньня лічніку ў некалькі разоў дробязь павялічыцца ў столькі-ж разоў ${\big (}{\tfrac {8\cdot 2}{9}}={\tfrac {16}{9}}{\big )}$, бо лік доляў павялічваецца.

151.Ад паменшаньня лічніку ў некалькі разоў дробязь паменшыцца ў столькі-ж разоў ${\big (}{\tfrac {8\colon 2}{9}}={\tfrac {4}{9}}{\big )}$, бо лік доляў памяншаецца.

152.Ад павялічаньня назоўніку ў некалькі разоў, дробязь памяншаецца ў столькі-ж разоў ${\big (}{\tfrac {8}{9\times 3}}={\tfrac {8}{27}}{\big )}$, бо вялічыня доляў памяншаецца.

153.Ад паменшаньня назоўніку ў некалькі разоў, дробязь павялічваецца ў столькі-ж разоў ${\big (}{\tfrac {8}{9\colon 3}}={\tfrac {8}{3}}{\big )}$, бо вялічыня доляў павялічваецца.

154.Ад адначаснага павялічаньня або паменшаньня лічніку й назоўніку ў аднолькавы лік разоў дробязь зьменьвае толькі свой выгляд, а вялічыня яе ня зьменьваецца.

Скарочаньне дробязяў.

155.Скарочаньнем дробязяў наз. прадстаўленьне дадзенай дробязі ў дробязь з меншым лічнікам і меншым назоўнікам, ня зьменьваючы вялічыні і дробязі.

156.Дробязі скарочваюцца для таго, каб прадставіць іх у прасьцейшым выглядзе, а так-сама, каб зручней было выявіць іх вялічыню.

157.Скарочаньне дробязяў аснована на асаблівасьці іх не мяняцца ад адначаснага паменьшаньня лічніку й назоўніку ў аднолькавы лік разоў.

158.Каб скараціць дробязь, трэба лічнік і назоўнік яе паступова дзяліць на ўсе супольныя іх дзельнікі да таго часу, пакуль у лічніку і назоўніку ня будуць лікі ўзаемна-першыя.

	10		9		8		7		3
${\Bigg (}$	60480		6048		672		84		12		4	${\Bigg )}$
	105840		10584		1176		147		21		7

Скараціць дробязь можна таксама пры падмозе дзяленьня лічніку й назоўніку на іх супольны найвялікшы дзельнік, каторы знаходзяць па спосабу паступовага дзяленьня.

159.Нескарочальнаю наз. дробязь, у каторае лічнік і назоўнік — лікі ўзаемна-простыя і каторая дзеля гэтага ня можа быць скарочана.

Параўнаньне дробязяў паміж сабою.

160.З некалькіх дробязяў з аднолькавымі лічнікамі тая большая, у каторай назоўнік меншы, бо долі гэтае дробязі буйнейшыя, а лік іх аднолькавы з другімі дробязямі ${\big (}$⁴/₇, ⁴/₉, ⁴/₁₁ — найв. ⁴/₇${\big )}$.

161.З некалькіх дробязяў з аднолькавымі назоўнікамі тая большая, лічнік каторае большы, бо долі гэтае дробязі аднолькавыя з другімі дробязамі, а лік іх большы ${\big (}$⁴/₇, ⁵/₇, ⁶/₇ — найвял. ⁴/₇${\big )}$.

162.Калі дадзеныя дробязі з рознымі лічнікамі й рознымі назоўнікамі, дык для параўнаньня іх паміж сабою трэба спачатку ўсе дробязі прывесьці або да аднаго лічніку або да аднаго назоўніку і потым разважаць па вышэйшаму.

Прывядзеньне дробязяў да аднаго назоўніку.

163.Прывядзеньнем дробязяў да аднаго назоўніку наз. спосаб, пры падмозе каторага дадзеныя дробязі ператвараюцца ў дробязі з аднолькавымі назоўнікамі, пры чым вялічыні дробязяў ня зьменьваюцца.

164.Дробязі прыводзяцца да аднаго назоўніку для таго, каб даведацца, якая з іх большая і якая меншая, а так сама для таго, каб складваць і адымаць дробязі.

165.Прывядзеньне дробязяў да аднаго назоўніка аснована на асаблівасьці дробязяў ня зьменьвацца ад адначаснага павялічаньня лічніку й назоўніку ў аднолькавы лік разоў.

166.Пры прывядзеньні дробязяў да аднаго назоўніку могуць быць два выпадкі: 1) калі ўсе назоўнікі ўзаемна-простыя, 2) калі назоўнікі маюць супольныя дзельнікі. У абодвых выпадках трэба спачатку знайсьці найменшы многаразавы ўсіх назоўнікаў, знойдзены найменшы многаразавы і будзе супольным назоўнікам; яго трэба дзяліць на кожны назоўнік і на дастаную дзель (на дадатковы множнік) памножыць лічнік і назоўнік адпаведнай дробязі.

^[1]На практыцы трэба толькі лічнікі памножыць на адпаведныя дадатковыя множнікі, а назоўнікам усіх дробязяў падпісваецца знойдзены найменшы многаразавы.

Прыклады:

1) Прывясьці да аднаго назоўніку дробязі: ²/₇, ⁵/₈. ⁴/₉.

Найменшы многаразавы назоўнікаў дадзеных дробязяў, як лікаў узаемна-простых, роўны іх множыву: — 7·8·9=504. Дадатковы множнік першага назоўніку да найменшага многаразавага ўсіх назоўнікаў будзе 8·9=72, другога назоўніку — 7·9=63, трэйцяга назоўніку — 7·8=56.

Знаходзім:	${\tfrac {2}{7}}={\tfrac {2\cdot 72}{504}}={\tfrac {144}{504}}$
	${\tfrac {3}{8}}={\tfrac {5\cdot 63}{504}}={\tfrac {315}{504}}$
	${\tfrac {4}{9}}={\tfrac {4\cdot 56}{504}}={\tfrac {224}{504}}$

2) Прывясьці да аднаго назоўніку дробязі: ⁴/₁₅, ³/₈, ⁵/₉.

Знойдзем найменшы многаразавы 15, 8, 9.

15=3·5	Дадатковыя	множнікі:	для	15	будзе	23·3=24;
8=2·2·2.	»	»	»	8	»	32·5=45;
9=3·3	»	»	»	9	»	23·5=40;
Найменшы многаразавы =23·32·5=360.

Знаходзім:	${\tfrac {4}{15}}={\tfrac {4\cdot 24}{360}}={\tfrac {96}{360}}$
	${\tfrac {3}{8}}$$={\tfrac {3\cdot 45}{360}}={\tfrac {135}{360}}$
	${\tfrac {5}{9}}$$={\tfrac {5\cdot 40}{360}}={\tfrac {200}{360}}$

3) Прывясьці да аднаго назоўніку дробязі ¹³/₂₄, ³¹/₇₂, ⁵/₁₈.

У дадзеным прыкладзе найбольшы назоўнік (72) ёсьць найменшым многаразавым усіх назоўнікаў; значыцца, ён павінен быць супольным назоўнікам.

Дадатковы множнік 24-х роўны 3; дадатковы множнік 18 роўны 4.

Знаходзім:	${\tfrac {13}{24}}={\tfrac {13\cdot 3}{72}}={\tfrac {39}{72}}$
	${\tfrac {5}{18}}={\tfrac {5\cdot 4}{72}}$$={\tfrac {20}{72}}$
	${\tfrac {31}{72}}=$${\tfrac {31}{72}}$

Пры правядзеньні дробязяў да аднаго лічніку трэба знайсьці найменшы многаразавы ўсіх лічнікаў, знайдзены найменшы многаразавы разьдзяліць на кожны лічнік і на дастаную дзель помножыць лічнік і назоўнік адпаведнае дробязі.

Знаходжаньне часткі якога-небудзь ліку і знаходжаньне ўсяго ліку, калі вядомы якія-небудзь яго часткі.

167.Каб знайсьці некалькі частак ад якога-небудзь цэлага ліку, трэба спачатку знайсьці адну жаданую частку гэтага ліку, разьдзяліўшы яго на назоўнік, потым знойдзеную частку памножыць на лічнік.

Няхай, напрыклад, трэба знайсьці ⁵/₆ ад 24. Разважаем:

${\tfrac {1}{6}}$(24)=${\tfrac {24}{6}}$=4.
${\tfrac {5}{6}}$(24)=4·5=20.

Няхай яшчэ патрэбна знайсьці ³/₈ ад ⁹/₅. Разважаем:

${\tfrac {1}{8}}\left({\tfrac {9}{5}}\right)={\tfrac {9}{5\cdot 8}}={\tfrac {9}{40}}$.
${\tfrac {7}{8}}\left({\tfrac {9}{5}}\right)={\tfrac {9\cdot 7}{40}}={\tfrac {63}{40}}=1{\tfrac {23}{40}}$.

Знайсьці некалькі частак ад дадзенага цэлага ўсё роўна, што памножыць дадзены цэлы на дадзеную дробязь.

168.Каб знайсьці ўвесь лік, калі вядомы якія-небудзь яго часткі, трэба спачатку знайсьці адну частку шуканага ліку, разьдзяліўшы дадзены лік на лічнік, потым знойдзеную частку шуканага ліку памножыць на назоўнік.

Няхай, напр., патрэбна знайсьці лік, каторага ³/₄ складваюць 18. Разважаем: ${\tfrac {3}{4}}$X=18;

${\tfrac {1}{4}}$X$={\tfrac {18}{3}}=16$;
${\tfrac {4}{4}}$X$=6\cdot 4=24$.

Няхай яшчэ патрэбна знайсьці лік, каторага ⁵/₇ складваюць ²/₃. Разважаем: ${\tfrac {5}{7}}$X${\tfrac {2}{3}}$;

${\tfrac {1}{7}}$X$={\tfrac {2}{3\cdot 5}}={\tfrac {2}{15}}$;
${\tfrac {7}{7}}$X$={\tfrac {2\cdot 7}{15}}={\tfrac {14}{15}}$.

Знайсьці ўвесь лік па дадзеных частках усё роўна, што разьдзяліць дадзеныя часткі на дадзеную дробязь.

Складаньне дробязяў.

169.Пры складаньні дробязяў могуць быць два выпадкі: 1) складаньне дробязяў з аднолькавымі назоўнікамі і 2) складаньне дробязяў з рознымі назоўнікамі.

170.Каб скласьці дробязь з аднолькавымі назоўнікамі, трэба пад зьлічвом лічнікаў падпісаць супольны назоўнік ${\Big (}{\tfrac {9}{13}}+{\tfrac {5}{13}}+{\tfrac {6}{13}}+{\tfrac {8}{13}}={\tfrac {9+5+6+8}{13}}={\tfrac {28}{13}}=2$²/₁₃${\Big )}$.

171.Каб скласьці дробязі з рознымі назоўнікамі, трэба спачатку іх прывясьці да аднаго назоўніка, потым рабіць па правілу складаньня дробязяў з аднолькавымі назоўнікамі ${\Big (}{\tfrac {5}{6}}+{\tfrac {9}{14}}+{\tfrac {4}{7}}={\tfrac {35+27+24}{42}}={\tfrac {86}{42}}=2$¹/₂₁${\Big )}$.

172.Каб скласьці мяшаныя лікі, трэба спачатку складаваць дробязі, а потым цэлыя лікі: ${\Big (}2{\tfrac {3}{4}}+5{\tfrac {5}{12}}+6{\tfrac {3}{8}};$ ${\tfrac {3}{4}}+{\tfrac {5}{12}}+{\tfrac {3}{8}}={\tfrac {37}{24}}=1{\tfrac {13}{24}}$; $2+5+6=13$; $13+1{\tfrac {13}{24}}=14{\tfrac {13}{24}}{\Big )}$.

Адыманьне дробязяў.

173.Пры адыманьні дробязяў могуць быць два выпадкі: 1) адыманьне дробязяў з аднолькавымі назоўнікамі і 2) адыманьне дробязяў з рознымі назоўнікамі.

174.Каб зрабіць адыманьне дробязяў з аднолькавымі назоўнікамі, трэба ад лічніка зьмяншанае дробязі адняць лічнік адыманае дробязі і пад дастанаю астачаю падпісаць супольны назоўнік ${\big (}$⁷/₁₂ – ⁵/₁₂ = ²/₁₂ = ¹/₆${\big )}$.

175.Каб зрабіць адыманьне дробязяў з рознымі назоўнікамі, трэба спачатку дробязі прывесьці да аднаго назоўніка і потым рабіць па правілу адыманьня дробязяў з аднолькавымі назоўнікамі ${\Big (}{\tfrac {23}{30}}-{\tfrac {5}{9}}={\tfrac {69-50}{90}}={\tfrac {19}{90}}{\Big )}$.

176.Каб зрабіць адыманьне мяшаных лікаў, трэба спачатку адняць дробязі, а потым цэлыя лікі. Калі-ж, прывёўшы дробязі да аднаго назоўніка, знаходзяць, што лічнік адыманае дробязі большы за лічнік зьмяншанае, дык трэба пазычыць адзінку ў цэлага зьмяншанага ліку і, зьвярнуўшы яе ў тыя долі, каторыя дадзены для адыманьня, дадаць да зьмяншанае дробязі. Гэта-ж сама трэба трэба рабіць і пры адыманьні дробязі ад цэлага ліку ${\Big (}7{\tfrac {5}{6}}-2{\tfrac {3}{4}}+6{\tfrac {3}{8}};$ ${\tfrac {3}{4}}=5{\tfrac {10-9}{12}}=5{\tfrac {1}{12}}$; $7-3{\tfrac {2}{5}}=6{\tfrac {5}{5}}-3{\tfrac {2}{3}}=3{\tfrac {3}{5}}$; $8{\tfrac {3}{4}}-5{\tfrac {5}{6}}=7{\tfrac {7}{4}}-5{\tfrac {5}{6}}=2{\tfrac {21-10}{12}}=2{\tfrac {11}{12}}{\Big )}$.

Множаньне дробязяў.

177.Пры множаньні дробязяў могуць быць тры выпадкі 1) множаньне дробязі на цэлы лік — 2) множаньне цэлага ліку на дробязь і 3) множаньне дробязі на дробязь.

Памножыць дробязь на цэлы лік значыць — паўтарыць множаны складанкай столькі разоў, колькі адзінак у множніку.

Памножыць цэлы лік або дробязны лік на дробязь значыць — знайсьці гэту дробязь множанага.

Напрыклад: ⁵/₇ · 3 азначае ⁵/₇ + ⁵/₇ + ⁵/₇, а гэта азначае ⁵/₇ 3-х адзінак або адну сёмую 3-х, паўтораную складанкай 5 разоў.

Множаньне дробязі на цэлы лік. Няхай патрэбна памножыць ⁵/₆ на 3. Гэта значыць — паўтарыць ⁵/₆ складанкай 3 разы, іначай гаворучы, павялічыць ⁵/₆ у тры разы, а каб павялічыць дробязь у тры разы, трэба або лічнік яе павялічыць або назоўнік паменшыць у тры разы. А таму: ${\tfrac {5}{6}}\cdot 3={\tfrac {5\cdot 3}{6}}={\tfrac {15}{6}}=$2¹/₂; або: ${\tfrac {5}{6}}\cdot 3={\tfrac {5}{6:3}}={\tfrac {5}{2}}=$2¹/₂.

Адсюль:

178.Каб памножыць дробязь на цэлы лік, трэба або лічнік памножыць або назоўнік разьдзяліць на гэты цэлы лік.

Множаньне цэлага ліку на дробязь. Дадзена памножыць 4 на ²/₃. Гэта значыць — знайсьці ²/₃ чатырох адзінак.

Дзеля таго, што ²/₃ ліку 4=⁴/₃,

дык²/₃ ліку 4=${\tfrac {4\cdot 2}{3}}$.

А таму:$4{\tfrac {2}{3}}={\tfrac {4\cdot 2}{3}}=2{\tfrac {2}{3}}$.Адсюль:

179.Каб памножыць цэлы лік на дробязь, трэба цэлы лік памножыць на лічнік і дастанае множыва разьдзяліць на назоўнік.

Множаньне дробязі на дробязь. Няхай патрэбна памножыць ³/₄ на ⁵/₇. Гэта значыць — знайсьці ⁵/₇ ліку ³/₄.

Дзеля таго, што ${\tfrac {1}{7}}$ ліку ${\tfrac {3}{4}}={\tfrac {3}{4\cdot 7}}$,

Дык${\tfrac {5}{7}}$ ліку ${\tfrac {3}{4}}={\tfrac {3\cdot 5}{4\cdot 7}}$,

А таму:${\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {5}{7}}={\tfrac {3\cdot 5}{4\cdot 7}}={\tfrac {15}{28}}$.Адсюль:

180.Каб памножыць дробязь на дробязь, трэба множыва іх лічнікаў разьдзяліць на множыва іх назоўнікаў.

181.Калі ў ліку сумножнікаў ёсьць мяшаныя лікі, дык спачатку іх ператвараюць у няправедныя дробязі і потым робяць па вышэйшым правілам. ${\big (}$3⁴/₅ · 5²/₃=${\tfrac {19}{5}}\cdot {\tfrac {17}{3}}={\tfrac {323}{15}}=21$⁸/₁₅${\big )}$.

Увага. З вышэйшага вытлумачэньня множаньня на дробязь відаць, што знаходжаньне частак дадзенага цэлага можа быць зроблена пры падмозе множаньня на дробязь.

182.Пры множаньні можна скарачаць цэлы множнік з назоўнікам дробязнага множніка і лічнік аднаго множніка з назоўнікам другога.

Ад множаньня лік павялічваецца толькі тагды, калі мы яго памнажаем на цэлы лік або на няправедную дробязь; ад множаньня-ж на праведную дробязь лік памяншаецца ${\big (}$12 · 3 = 36; 12 · ³/₂ = 18; 12 · ²/₃ = 8${\big )}$.

Множыва некалькіх дробязяў. Калі дадзена перамножыць некалькі дробязяў, трэба множыва іх лічнікаў разьдзяліць на множыва іх назоўнікаў. Калі ў ліку сумножнікаў ёсьць мяшаныя лікі, іх спачатку зьменьваюць у няправедныя дробязі: ${\Big (}{\tfrac {3}{4}}\cdot {\tfrac {5}{6}}\cdot {\tfrac {7}{8}}={\tfrac {3\cdot 5\cdot 7}{4\cdot 6\cdot 8}}={\tfrac {105}{192}}={\tfrac {35}{64}}$; ${\big (}2{\tfrac {2}{3}}\cdot {\tfrac {4}{5}}\cdot 4{\tfrac {1}{2}}\cdot 3={\tfrac {8}{3}}\cdot {\tfrac {4}{5}}\cdot {\tfrac {9}{2}}\cdot 3={\tfrac {8\cdot 2\cdot 9\cdot 3}{3\cdot 5\cdot 2}}={\tfrac {144}{5}}=28{\tfrac {4}{5}}{\Big )}$.

Дзяленьне дробязяў.

183.Пры дзяленьні дробязяў, як і пры множаньні, могуць быць тры выпадкі: 1) дзяленьне дробязі на цэлы лік, 2) дзяленьне цэлага ліку на дробязь і 3) дзяленьне дробязі на дробязь.

Разьдзяліць які-небудзь лік на цэлы або дробязны лік значыць — па дадзенаму множыву (дзельнаму) і аднаму з сумножнікаў (дзельніку)

Напрыклад: 3 : ⁴/₅ значыць — знайсьці такі лік, каторы, памножаны на ⁴/₅, зложыць 3; або: знайсьці лік, на каторы трэба памножыць ⁴/₅, каб адтрымаць 3.

Дзяленьне дробязі на цэлы лік. Няхай дадзена разьдзяліць ⁶/₇ на 3. Гэта значыць — знайсьці лік, каторы, памножаны на 3, зложыць ⁶/₇, г. е. шуканая дзель, павялічаная ў тры разы, складвае ⁶/₇. Значыцца, каб знайсьці яе, трэба ⁶/₇ памножыць у тры разы, а каб паменшыць дробязь у тры разы, трэба або лічнік яе паменшыць, або назоўнік павялічыць у тры разы.

А таму:${\tfrac {6}{7}}:3={\tfrac {6:3}{7}}={\tfrac {2}{7}}$або${\tfrac {6}{7}}:3={\tfrac {6}{7\cdot 3}}={\tfrac {6}{21}}={\tfrac {2}{7}}$.Адсюль:

184.Каб разьдзяліць дробязь на цэлы лік, трэба або лічнік разьдзяліць, або назоўнік памножыць на гэты цэлы лік.

Дзяленьне цэлага ліку на дробязь. Няхай патрэбна разьдзяліць 5 на ³/₄. Гэта значыць — знайсьці лік, каторы, будучы памножаны на ³/₄, зложыць 5. Дзеля таго, што памножыць дзель на ³/₄ значыць — знайсьці ³/₄ дзелі, дык:

${\tfrac {3}{4}}$шуканае дзелі=5;

${\tfrac {1}{4}}$шуканае дзелі=${\tfrac {5}{3}}$,

а ${\tfrac {4}{4}}$шуканае дзелі=${\tfrac {5\cdot 4}{3}}$.

А таму:5 : ³/₄=${\tfrac {5\cdot 4}{3}}={\tfrac {20}{3}}=6$²/₃.Адсюль:

185.Каб разьдзяліць цэлы лік на дробязь, трэба цэлы лік памножыць на назоўнік і дастанае множыва разьдзяліць на лічнік.

Дзяленьне дробязі на дробязь. Няхай патрэбна разьдзяліць ³/₄ на ⁵/₇. Гэта значыць — знайсьці лік, каторы, памножаны на ⁵/₇, дае ³/₄. Дзеля таго, што памножыць дзель на ⁵/₇ значыць — знайсьці ⁵/₇ дзелі, дык:

${\tfrac {5}{7}}$шуканае дзелі=${\tfrac {3}{4}}$;

${\tfrac {1}{7}}$шуканае дзелі=${\tfrac {3}{4\cdot 5}}$;

${\tfrac {7}{7}}$шуканае дзелі=${\tfrac {3\cdot 7}{4\cdot 5}}$.

Дзеля таго:${\tfrac {3}{4}}:{\tfrac {5}{7}}={\tfrac {3\cdot 7}{4\cdot 5}}={\tfrac {21}{20}}=1{\tfrac {1}{20}}$.Адсюль:

186.Каб разьдзяліць дробязь на дробязь, трэба лічнік дзельнае дробязі памножыць на назоўнік дзельніка, лічнік дзельніка на назоўнік дзельнага і першае множыва разьдзяліць на другое.

187.Калі пры дзяленьні адзін з дадзеных (або абодва) лікаў ёсьць лік мяшаны, дык спачатку трэба мяшаны лік зьмяніць у няправедную дробязь і потым рабіць дзяленьне на вышэйшых правілах.

Увага. З вышэйшага тлумачэньня дзяленьня выходзяць, што знаходжаньне ўсяго ліку па дадзеным часткам можа быць зроблена спосабам дзяленьня на дадзеную дробязь.

188.Пры дзяленьні можна скарачаць цэлы лік з лічнікам і лічніка з лічнікам, назоўнік з назоўнікам.

Ад дзяленьня лік памяншаецца толькі тады, калі мы яго дзелім на цэлы лік, або на няправедную дробязь: ад дзяленьня на праведную дробязь, лік павялічваецца ${\big (}$12 : 3 = 4 : 12 : ³/₂ = 8; 12 : ²/₃ = 18${\big )}$.

Дзяленьне ўжываецца пры разьвязваньні такіх задач, калі адзін з дадзеных лікаў можна разглядваць, як множыва, а другі — як множнік або множаны.

Напр.:

Задача1.Колькі аршынаў аксаміту можна купіць за 46³/₄ руб., калі адзін аршын яго каштуе 5¹/₂ руб.?

Для разьвязваньня задачы трэба даведацца, колькі разоў 5¹/₂ трэба паўтарыць складанкай, або: якую дробязь трэба ўзяць ад 5¹/₂, каб адтрымаць 46³/₄, г. зн. трэба знайсьці, на які (цэлы або дробязны) лік трэба памножыць 5¹/₂, каб адтрымаць у множыве 46³/₄. У гэтай задачы дадзена множыва (46³/₄) і множаны (5¹/₂), а патрэбна знайсьці множнік, што робіцца пры падмозе дзяленьня:

46³/₄ : 5¹/₂ = ${\tfrac {187}{4}}:{\tfrac {11}{2}}={\tfrac {17}{2}}$.

Дзель паказвае, што калі ¹/₂ часткі 5¹/₂ руб. паўтарыць складанкай 17 разоў, дык дастанецца 46³/₄. Дзеля таго, што на ¹/₂ часткі 5¹/₂ р. можна купіць ¹/₂ арш., дык на 17 такіх доляў — ¹⁷/₂, г. зн. 8¹/₂ арш.

Задача2.За 6¹/₃ хунта тытуню заплачана 21⁸/₁₅ руб. Колькі каштуе адзін хунт?

Раней мы 6¹/₃ ператвараем у няправедную дробязь і знаходзім ¹⁹/₃, потым разважаем:

Для разьвязваньня задачы, трэба знайсьці лік, каторага ¹⁹/₃ складвають 21⁸/₁₅, г. зн. такі лік, каторы, будучы памножаны на ¹⁹/₃, злажыць 21⁸/₁₅. У гэтай задачы дадзена множыва ${\big [}$21⁸/₁₅${\big ]}$ i множнік ${\big [}$¹⁹/₃${\big ]}$, а патрэбна знайсьці множаны, каторы знаходзіцца дзяленьнем:

$21{\tfrac {8}{15}}:6{\tfrac {1}{3}}={\tfrac {323}{15}}:{\tfrac {19}{3}}={\tfrac {323\cdot 3}{19\cdot 15}}={\tfrac {17}{5}}=3{\tfrac {2}{5}}$.

Хунт тытуню каштуе 3²/₅ руб. = 3 руб. 40 кап.

Задача3.Колькі аршынаў шоўку можна купіць на 2 руб. калі адзін аршын каштуе 3³/₄ руб.?

Як відаць, на 2 рублі можна купіць толькі частку аршына коштам у 3³/₄ руб. Каб даведацца, якую частку, патрэбна знайсьці, на якую дробязь трэба памножыць 3³/₄, каб адтрымаць 2. У гэтае задачы дадзены множыва [2] і множаны ${\big [}$3³/₄${\big ]}$, а трэба знайсьці множнік.

$2:3{\tfrac {3}{4}}=2:{\tfrac {15}{4}}={\tfrac {8}{15}}$.

Дзель паказвае, што ⁸/₁₅ ліку 3³/₄ складваюць 2, г. зн. на 2 рублі можна купіць ⁸/₁₅ аршына шоўку коштам у 3³/₄ рубля арш.

Задача4.За ⁵/₈ хунта гарбаты заплачана 3 руб.: Колькі каштуе 1 хунт?

Для разьвязваньня задачы трэба знайсьці лік, ⁵/₈ каторага складваюць 3, г. зн., лік, на каторы трэба памножыць ⁵/₈, каб адтрымаць 3. У гэтай задачы дадзены множыва [3] і множнік ${\big [}$⁵/₈${\big ]}$, а знаходзіцца множаны.

$3:{\tfrac {5}{8}}={\tfrac {3\cdot 8}{5}}={\tfrac {24}{5}}=4$⁴/₅.

Хунт гарбаты каштуе 4⁴/₅ руб. = 4 руб. 80 кап.

Дзеяньні з дробязнымі іменнымі лікамі.

Драбленьне дробязных іменных лікаў робіцца, падобна цэлым лікам, спосабам множаньня на адзінкавыя адносіны.

1)⁴/₇вярстыдрабіцьувяршкі.

Разважаем: 1 вярста мае 500 саж.; значыцца, ⁴/₇ вярсты маюць 7 частак 500 саж. або 500. ⁴/₇ = ²⁰⁰⁰/₇ саж.

1 саж. мае 3 арш.; значыцца ²⁰⁰⁰/₇ саж. маюць ²⁰⁰⁰/₇ частак 3 аршын або 3. ²⁰⁰⁰/₇ = ⁶⁰⁰⁰/₇ арш.

1 арш. мае 16 вяршк.; значыцца, ⁶⁰⁰⁰/₇ аршына маюць ⁶⁰⁰⁰/₇ частак 16 вярш. або 16 · ⁶⁰⁰⁰/₇ = ⁹⁶⁰⁰⁰/₇ вярш. = 13714²/₇ вярш.

2)2³/₅пуда³/₄хун.1⁵/₈лота драбіць у лоты.

Разважаючы па вышэйшаму, вылічваем: 40 х. · 2³/₅ = 104 хунты; 104 хунт. + ³/₄ х. = 104³/₄ хунт.; 32 лот. · 104³/₄ = 3352 лот. + 1⁵/₈ л. = 3353⁵/₈ лота.

3)⁸/₁₁парывыразіцьмногаіменнымлікам.

⁸/₁₁ пары дробім у гадзіны: 24 · ⁸/₁₁ = ¹⁹²/₁₁ = 17⁵/₁₁ гадзіны. Пакідаючы 17 гадз. у боку, дробім ⁵/₁₁ гадзіны ў часіны; 60 · ⁵/₁₁ = ³⁰⁰/₁₁ часіны = 27³/₁₁ часіны. Пакідаючы 27 часін у боку, дробім ³/₁₁ часіны ў сэкунды: 60 × ³/₁₁ = ¹⁸⁰/₁₁ = 16⁴/₁₁ сэк.

Значыцца,⁸/₁₁пар.=17гадз.27 часін. 16⁴/₁₁ сэк.

Збуйненьне дробязных іменных лікаў робіцца, падобна цэлым лікам, спосабам дзяленьня на адзінкавыя адносіны.

Прыклады:

1)Зьвярнуць,⁴/₅аркушаўрэзы.

Зьвернем раней аркушы ў лібры, г. зн. даведаемся, якую частку лібры, або 24 аркушаў, складваюць ⁴/₅ аркуша. Для гэтага трэба разьдзяліць ⁴/₅ на 24 і адтрымаць ⁴/₅ : 24 = ¹/₃₀ (лібры). Потым даведаемся, якую частку рэзы, або 20 лібраў, складвае 30 = ¹/₃₀ лібры. Для гэтага мы ¹/₃₀ дзелім на 20 : ¹/₃₀ : 20 = ¹/₆₀₀ (рэзы).

2)22хун.20лот.1¹/₃зал.зьвярнуцьупуды.

Разважаючы па вышэйшаму, вылічваем: 1¹/₃ : 3 = ⁴/₉ лот., ⁴/₉ лот. + 20 лот. = 20⁴/₉ лот.; 20⁴/₉ : 32 = ²³/₃₆ хун.; ²³/₃₆ хун. + 22 хунт. = 22²³/₃₆ хун.; 22²³/₃₆ х. : 40 = ¹⁶³/₂₈₈ пуд.

Чатыры аснаўныя дзеяньні з дробязнымі іменнымі лікамі робяцца дваякім парадкам: або дадзеныя лікі прыводзяцца ў адно найменьне і робяць з імі як з бязыменнымі дробязямі, або дадзеныя лікі зварачваюць у многаіменныя і робяць з імі, як з цэлымі іменнымі лікамі.

Напрыклад:

1) Скласьці: 13⁶/₂₅ гадз. + 17⁵/8 гадз. + 1³⁷/₅₀ пар. + 2 г. 1¹/₄ час.

Выразім складанкі многаіменнымі лікамі:

	136/25	гадз. =	13 гадз.	142/5 часіны.
	175/8	гадз. =	17 гадз.	371/2 часіны.
137/50	пар. = 1 пар.		17 гадз.	453/5 часіны.
2 гадз.	11/4 часіны = 2 гадз.			11/4часіны.
Маем:3 пар.2 гадз.383/4 часіны.

2) Адняць 1 пуд. 33¹/₂ хун. ад 10¹/₈ пуд.

Выразім зьмяншаны і адыманы многаіменнымі лікамі:

	101/8	пуд. =	10 пуд.	5 хунт.	0 лот.
1 пуд.	331/2ф. =		1 пуд.	33 хунт.	16 лот.
Маем:8 пуд.11 хунт.16 лот.

3) Памножыць 4 пуды 5¹/₃ хун. на ³/₅.

Гэта множаньне робіцца па правілу множаньня цэлага ліку на дробязі, г. зн. дадзены многаіменны лік трэба раней помножыць на 3 і потым дастанае множыва разьдзяліць на 5.

4пуд.51/3хунта ×3
12п	уд.	16х	унт.	5
2п	уд.=	80х	унт.	2пуд.19хунт.62/5лота.
	+16
	96х		унт.
		1х. = 32		лот.
			2	лот.

4) Разьдзяліць 5 рэзаў 4⁵/₆ лібры на ⁴/₅.

Каб разьдзяліць дадзены лік на ⁴/₅, трэба яго памножыць на 5 і дастанае множыва разьдзяліць на 4:

5рэзаў45/6лібр. ×5
26	рэз.	41/6лібр	.	4
2	рэз.	=40лібр	.	6 рэз.111/24лібр.
		+41/6лі	бр.
		441/6лібр.=265/6
		265/6:4=265/24=111/24.

Пры дзяленьні іменнага ліку на іменны, трэба дзельны і дзельнік зьвярнуць у меры аднаго найменьня і пасьля пачынаць рабіць дзеяньні па вышэйшых правілах.

Дзесяцёрныя дробязі.

Абазначваньне і чытаньне дзесяцёрных дробязяў.

189.Дзесяцёрнаю дробязьзю называецца такая, у каторай назоўнікам служыць 10, 100, 1000,… і, наагул, толькі лік, абазначаны адзінкаю з нулямі.

190.Пяршынство дзесяцёрных дробязяў перад простымі ёсьць у тым, што іх можна напісаць без назоўніка, дзеля гэтага і дзеяньні над імі могуць рабіцца падобна таму, як робяцца над цэлымі лікамі.

191.Каб напісаць якую-небудзь дзесяцёрную дробязь, можна спачатку напісаць яе лічнік, гледзячы, каб у ім было роўна столькі лічбін, колькі нулёў павінна быць у падразумеваным назоўніку; калі пры гэтым значных лічбінаў нястача, дык на мейсца іх трэба прыпісаць з левага боку нулі; потым зьлева ад лічніку паставіць коску і зьлева ад яе цэлы лік або нуль, калі цэлага ліку няма.

192.Каб прачытаць дзесяцёрную дробязь, трэба спачатку прачытаць цэлы лік, потым лічнік, дадаць да яго дзесяцёрнае значэньне толькі апошняе лічбіны яго.

Правільныя і няправільныя дзесяцёрныя дробязі. Параўнаньне дзесяцёрных дробязяў паміж сабою.

193.Правільнаю (можна казаць таксама праведнаю) называецца такая дзесяцёрная дробязь, пры якой няма цэлага ліку (0,5; 0,35…).

194.Няправільнаю (можна казаць таксама няправеднаю) называецца такая дзесяцёрная дробязь, пры якой ёсьць цэлы лік (1,075; 3,6).

195.З некалькіх дзесяцёрных дробязяў тая большая, у каторае цэлых адзінак больш; калі-ж цэлых у ва ўсіх дробязях аднолькава, дык трэба глядзець на дзесятыя долі, а калі і дзесятых пароўну, дык на соценныя долі і г. д. (0,21>0,185; 0,354<0,356).

Павялічаньне і паменшаньне дзесяцёрных дробязяў. Скарочаньне і прывядзеньне десяцёрных дробязяў да аднаго назоўніка.

196.Каб павялічыць дзесяцёрную дробязь у 10, 100, 1000 і г. д. разоў, трэба перанесьці коску ўправа цераз адну, дзьве, тры… і наагул, цераз столькі лічбінаў, колькі нулёў у множніку; калі-ж лічбінаў не хапае, дык трэба да лічніку справа прыпісаць патрэбны лік нулёў і справа ад іх паставіць коску, бо ад пераносу коскі цераз адну, дзьве… лічбінаў значэньне кожнае лічбіны павялічваецца ў 10, 100… разоў.

197.Каб паменшыць дзесяцёрную дробязь у дзесяць, сто, тысячу і г.д. разоў, трэба перанесьці коску ўлева цераз адну, дзьве, тры… і, наагул, цераз столькі лічбінаў, колькі нулёў у дзельніку; калі-ж лічбінаў не хапае, дык трэба да дзельніку зьлева прыпісаць патрэбны лік нулёў і зьлева ад іх паставіць коску, бо ад пераносу коскі ўлева цераз 1, 2, 3… лічбінаў значэньне кожнае лічбіны паменшаецца ў 10, 100,… разоў.

198.Калі ў дзесяцёрнае дробязі адкінуць коску, дык яна павялічваецца ў столькі разоў, колькі адзінак (усіх парадкаў) у яе падразумеваным назоўніку.

199.Калі да дзесяцёрнае дробязі прыпісаць справа які хочаш лік нулёў, або ад яе адкінуць стаячыя справа нулі, дык вялічыня яе ня зьменіцца, бо з павялічаньнем або з паменшаньнем лічніку ў сколькі-небудзь разоў, павялічваецца або памяншаецца назоўнік у столькі-ж разоў (3,75=3,7500).

На гэтай апошняй асаблівасьці дзесяцёрных дробязяў грунтуецца скарочаньне і прывядзеньне іх да аднаго назоўніка.

200.Каб скараціць дзесяцёрную дробязь, якая канчаецца нулямі, трэба гэтыя нулі адкінуць (0,760=0,76).

201.Каб прывесьці дзесяцёрныя дробязі да аднаго назоўніка, трэба да некатарых з іх прыпісаць справа па столькі нулёў, каб лік дзесяцёрных знакаў ува ўсіх дробязях быў роўны.

Складаньне дзесяцёрных дробязяў.

202.Каб скласьці дзесяцёрныя дробязі, трэба іх падпісаць адну пад адной так, каб цэлыя былі пад цэлымі, дзесятыя пад дзесятымі, сотыя пад сотымі і г.д., потым складваць, як цэлыя лікі, і ў зьлічве, посьле цэлага, паставіць коску.

Напрыклад:	0,367
	5,05
	0,8
	3,3754
	9,5924

Адыманьне дзесяцёрных дробязяў.

203.Каб адняць дзесяцёрную дробязь ад дзесяцёрнае, трэба спачатку прывесьці іх да аднаго назоўніка, потым адымаць, як цэлыя лікі і ў астачы, пасьля цэлага, паставіць коску.

Прык.4,75 - 0,8675=	4,7500	9 - 0,565=	9,000
	-0,8675		-0.565
	3,8825		8,435

Множаньне дзесяцёрных дробязяў.

204.Каб памножыць дзесяцёрную дробязь на дзесяцёрную, трэба, не зьвяртаючы ўвагі на коскі, множыць іх, як цэлыя лікі, і ў множыве аддзяліць коскаю справа столькі лічбінаў, колькі іх было ў абодвух лічніках разам.

Напрыклад:	2,55
	×0,7
	1,785

Адкінуўшы коскі, множаны павялічваем у 100 разоў, а множнік у 10 разоў, адчаго множыва павялічваецца ў 100×10=1000 разоў. Каб адтрымаць шуканае множыва, трэба 1785 паменшыць у 1000 разоў, г. зн. аддзяліць у ім 3 дзесяцёрныя знакі.

Дзяленьне дзесяцёрных дробязяў.

205.Пры дзяленьні дзесяцёрных дробязяў бываюць два выпадкі: 1) калі дзельнік — лік цэлы і 2) калі дзельнік — дзесяцёрная дробязь.

206.Каб разьдзяліць дзесяцёрную дробязь на цэлы лік, трэба разьдзяліць спачатку цэлы лік, паставіць у дзелі коску і потым паступова дзяліць дзесятыя, сотыя, тысячныя долі і г. д. Калі пры дзяленьні дастанецца астача, дык яе зварочваюць у дзесятыя долі, прыпісаўшы да яе справа нуль, і робяць дзяленьне; з новымі астачамі (калі гэтыя дастануцца) робяць гэтак-жа сама, г. зн. зварочваюць у сотыя, тысячныя і г. д. да таго часу, пакуль зусім не дастанецца астачы, або пакуль ня будзе ясна, што дзяленьне ня можа скончыцца без астачы.

Калі ў дзельным, замест цэлага, знаходзіцца нуль, або калі дзельны меншы за дзельнік, дык у дзелі, замест цэлага, трэба паставіць нуль, а з дзельным рабіць, як з астачаю, па вышэйшаму.

Прыклады:	57		,65
		16
			50
				20
					40
						0

8

7,20625

0,3
	30
		20
			0

4

0,075

Калі дзяленьне дзесяцёрных дробязяў ня можа кончыцца без астачы, дык у дзелі можна застанавіцца на якім-небудзь парадку, а астатнія лічбіны адкінуць і, такім чынам, дастанецца прыблізная дзель; але калі першая з адкідваемых лічбінаў будзе абазначана шасьцёркаю, сямёркаю, васьмёркаю або дзевяткаю, дык папярэднюю трэба павялічыць на адзінку, каб памылка была меней значная.

Трэба заўважыць, што прыблізныя дзелі заўсёды пунктуальны да ¹/₂ дзесяцёрнае долі таго парадку, якім яны канчаюцца.

207.Каб разьдзяліць цэлы лік на дзесяцёрную дробязь або дзесяцёрную дробязь на дзесяцёрную, трэба адкінуць у дзельніку коску і павялічыць дзельны ў столькі разоў, у колькі павялічыўся дзельнік, і затым рабіць па правілу дзяленьня на цэлы лік.

Напрыклад: 35,48 : 0,24 = 3548 : 24; 0,375 : 0,25 = 37,5 : 25; 0,54 : 0,0032 = 5400 : 32 i г. д.

Пераробка звычайных дробязяў у дзесяцёрныя.

Дзесяцёрныя дробязі ў дзелі дастаюцца ня толькі пры дзяленьні дзесяцёрных дробязяў, але і пры дзяленьні цэлых лікаў. Так, калі пры дзяленьні аднаго цэлага ліку на другі дастаецца астача, то гэтая астача зварочваецца ў дзесятыя долі і дзеліцца на дзельнік, адчаго ў дзелі дастаюцца дзесятыя долі. Гэтак-жа сама робяць з новаю астачаю, выражанаю ў дзесятых долях і г. д. Усякая звычайная праведная або няправедная дробязь можа быць выражана ў дзесяцёрных долях, какі мы разьдзелім лічнік на назоўнік па вышэйшаму правілу, дзеля таго, што ўсякая дробязь можа быць разгледжана, як дзель, якая дастаецца ад разьдзяленьня лічніка на назоўнік.

208.Каб перарабіць звычайную дробязь у дзесяцёрную, трэба лічнік разьдзяліць на назоўнік, а калі ён ня дзеліцца, дык у дзелі, замест цэлага, паставіць нуль і справа ад яго коску, а лічнік зьвярнуць у дзесятыя долі, памножаўшы яго на 10, і разьдзяліць на назоўнік, астачу ізноў памножыць на 10 і г. д. ${\big (}$¹⁷/₂₅ = 17 : 25 = 0,68; ³/₄ = 3 : 4 = 0,75; ⁶/₇ = 6 : 7 = 0,85714…${\big )}$.

Для спрошчаньня вылічэньня, трэба, раней зварочваньня звычайнае дробязі ў дзесяцёрную, дадзеную звычайную дробязь скараціць, калі гэта можна.

Дзесяцёрныя дробязі скончаныя (з канцом) і безканечныя (без канца)

Дзесяцёрныя дробязі бываюць скончаныя і безканечныя.

209.Дробязьзю скончанаю наз. такая дзесяцёрная дробязь, каторая абазначана вядомымі лікамі лічбінаў і вялічыня яе вядомая (зусім вызначаная).

210.Дробязьзю безканечнай наз. такая дзесяцёрная дробязь, каторая абазначана нявызначаным лікам лічбінаў і вялічыня яе ня зусім абмяжованая (ня зусім вызначаная).

Каб паказаць, што дадзеная дробязь безканечная, ставяць посьле некалькіх яе лічбінаў пункты […]. Безканечныя дзесяцёрныя дробязі бываюць пэрыодычныя і непрыдычныя.

211.Пэрыодычнаю наз. такая безканцовая дзесяцёрная дробязь, у каторай адны і тыя-ж самыя лічбіны паўтараюцца ў адным і тым-жа парадку (0,333…; 2,5454…).

212.Непэрыодычнаю наз. такая безканцовая дзесяцёрная дробязь, каторая абазначана нявызначаным лікам лічбінаў, напісаных бяз усякага парадку (0,7531…).

213.Пэрыодам наз. група лічбінаў, якія паўтараюцца ў адным і тым самым парадку безканцовы лік разоў.

Усякая безканцовая дробязь, якая дастаецца ад зьвярненьня звычайнае дробязі, абавязкова будзе пэрыодычнаю, бо, робячы дзяленьне, мы абавязкова адтрымаем адну з ранейшых астачаў, а значыць, і лічбіны дзелі пачнуць паўтарацца і ствараць пэрыод.

Каб даведацца, у якую дзесяцёрную дробязь зьвернецца дадзеная нескарачальная звычайная, трэба назоўнік раскласьці на прапачатковыя множнікі. Калі ў склад назоўніка ўходзяць толькі множнікі 2 або 5, або абодва разам, дык дадзеная дробязь зьвернецца ў дзесяцёрную з канцом. Калі-ж ў склад назоўніка 2 або 5 зусім не ўваходзяць, або, калі, апроч 2 і 5, ўваходзяць і другія прапачатковыя множнікі, дык дадзеная звычайная дробязь зьвернецца ў дзесяцёрную без канца.

Чыстыя і мяшаныя пэрыодычныя дробязі.

Пэрыодычныя дробязі бываюць чыстыя і мяшаныя.

214.Чыстымі наз. пэрыодычныя дробязі, у каторых пэрыод пачынаецца з першае лічбіны посьле коскі (0,8181…).

215.Мяшанымі наз. пэрыодычныя дробязі, у каторых пэрыод пачынаецца ня з першае лічбіны посьле коскі (0,12323…).

Каб даведацца, ў якую пэрыодычную дробязь зьвернецца дадзеная нескарачальная звычайная, трэба назоўнік раскласьці на прапачатковыя множнікі. Калі ў склад назоўніка множнікі 2 і 5 зусім ня ўваходзяць, дык дадзеная дробязь зьвернецца ў пэрыодычную чыстую. Калі-ж у склад назоўніка нескарачальнае дробязі ўваходзяць 2 або 5 разам з другімі прапачатковымі множнікамі, дык дадзеная звычайная дробязь зьвернецца ў пэрыодычную мяшаную, і да пэрыода будзе столькі лічбінаў, колькі разоў уваходзіць множнікам 2 або 5, гледзючы на тое, які з іх уваходзіць больш.

Пераробка (зварочваньне) дзесяцёрных дробязяў у звычайныя.

216.Каб зьвярнуць скончаную дзесяцёрную дробязь у звычайную, трэба толькі пад лічнікам падпісаць яе падразумеваны назоўнік і потым дастаную дробязь, калі можна, скараціць ${\big (}$0,5=⁵/₁₀=¹/₂; 2,75 = ²⁷⁵/₁₀₀=2³/₄)${\big )}$.

217.Каб чыстую пэрыодычную дробязь зьвярнуць у звычайную, трэба напісаць такую дробязь, у каторае лічнікам будзе пэрыод, а назоўнікам — лічбіна 9, напісаная столькі разоў падрад, колькі лічбінаў у адным пэрыодзе, і потым дастаную звычайную дробязь, калі можна, скараціць.

Довад. Заўважым раней, што, зьвярнуўшы дробязі: ¹/₉, ¹/₉₉, ¹/₉₉₉, ¹/₉₉₉₉, у дзесяцёрныя, знойдзем:

1/9=0,111…	і наадварот:	0,[1]=1/9
1/99=0,010101…	»	0,[01]=1/99
1/999=0,001001001…	»	0,[001]=1/999
1/9999=0,000100010001…	»	0,[0001]=1/9999

Значыць усякая пэрыодычная дробязь, пэрыод каторае ёсьць адзінка (0,1) або адзінка з папярэднімі нулямі (0,001), роўна такой звычайнай дробязі, лічнікам каторае ёсьць адзінка, а назоўнікам — столькі дзевятак разам, колькі лічбінаў у пэрыодзе дадзенае дробязі.

Цяпер няхай, напр., патрэбна зьвярнуць 0,5454… у звычайную дробязь. Разьдзелім яе на пэрыод [54]:

0,5454…: 54=0,0101…, што =¹/₉₉.

Але 0,5454… [дзельны] роўны 54 [дзельніку], памножанаму на 0,0101… [дзель], знаходзім: 0,5454…=54·0,0101…=54·¹/₉=⁵⁴/₉=⁶/₁₁.

218.Каб мяшаную пэрыодычную дробязь зьвярнуць у звычайную, трэба спачатку перанясьці коску да першага пэрыода, потым дастаную чыстую пэрыодычную дробязь зьвярнуць у звычайную па вышэйшаму правілу, і пасьля дастаны лік паменшыць у столькі разоў, у колькі дадзеная мяшаная дробязь павялічана пераносам коскі.

Няхай, напр., патрэбна 0,31818… зьвярнуць у звычайную дробязь.

Перанясём коску да пачатку першага пэрыода, тагды адтрымаем чыстую пэрыодычную дробязь 3, [18], каторая, па ранейшаму, роўна 3¹⁸/₉₉. Але пераносам коскі да пэрыода мы павялічым значэньне кожнае лічбіны ў 10 разоў; значыцца, дробязь 3¹⁸/₉₉ трэба наменшыць у 10 разоў.

Такім чынам, 0,31818…=3, [18] : 10= ¹⁸/₉₉ : 10=⁷/₂₂.

Гэта вылічаньне можна прадставіць яшчэ:

0,3 [18]=3, [18] : 10=3¹⁸/₉₉ : 10= ${\tfrac {3\cdot 100-3+18}{990}}={\tfrac {318-3}{990}}={\tfrac {7}{22}}$

Адсюль выводзіцца яшчэ наступнае правіла зварочваньня мяшаных пэрыодычных дробязяў у звычайныя: трэба ад ліку, які стаіць ад коскі да другога пэрыода, адняць лік, які стаіць да першага пэрыода,

1. 1. Дробязныя ##

дастаная розьніца і будзе лічнікам, а назоўнікам будзе лічбіна 9, напісаная столькі разоў падрад, колькі лічбінаў у пэрыодзе, і з гэтулькімі нулямі, колькі лічбінаў да пэрыода.

Зусім зразумела, што непэрыодычная дробязь без канца ня можа быць зьвернута у звычайную.

---

1. 1. Адносіны ##

АДНОСІНЫ І ПРАПОРЦЫІ.

Адносіны.

219.Адносінамі наз. рэзультат, дастаны ад параўнаньня двох аднаіменных лікаў.

Лікі можна раўняць дваяка: або спосабам адыманьня (каб даведацца, на колькі адзінак адзін лік большы за другі), або способам дзяленьня (каб даведацца, у колькі разоў адзін лік большы за другі), а таму адносіны разьдзельваюцца на арытмэтычныя, або розьніцавыя, і на гэомэтрычныя, або разавыя.

Арытмэтычныя адносіны.

220.Арытмэтычнымі або розьніцавымі адносінамі наз. арытмэтычнае выражэньне, якое патрабуе шуканьня розьніцы двох лікаў ${\big (}$13–5; 7–2³/₄:1,2–⁵/₆…${\big )}$.

221.Лікі, паміж каторымі разглядаюцца адносіны, наз. складамі (суставамі) яе; зьмяншаны наз. першым або пярэднім, адыманы другім або наступным складам (суставам), а розьніца паміж гэтымі лікамі — розьніцаю адносінаў.

Дзеля таго, што пярэдні склад арытмэтычных адносін ёсьць зьмяншаны, а наступны — адыманы, дык залежнасьць паміж складамі і розьніцаю адносінаў павінна быць такая-ж, якая ёсьць паміж зьмяншаным, адыманым і розьніцаю. А дзеля таго:

222.Пярэдні склад арытмэтычных адносін роўны наступнаму, складзенаму з розьніцаю адносін (х–7=5, адкуль: x=7+5=12).

223.Наступны склад арытмэтычных адносін роўны пярэдняму бяз розьніцы адносін (13–х=7, адкуль: х=13–7=6).

Розьніца адносінаў роўна пярэдняму складу без наступнага.

---

1. Дадатковымі множнікамі дадзеных назоўнікаў да іх найменшага многаразавага наз. лікі, на каторыя трэба памножыць кожны назоўнік, каб дастаць найменшы многаразавы.